\(\int \frac {(A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx\) [1007]

Optimal result

Integrand size = 41, antiderivative size = 480 \[ \int \frac {\left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=-\frac {\left (35 a^4 A b^4-28 a^2 A b^6+8 A b^8+8 a^7 b B-8 a^5 b^3 B+7 a^3 b^5 B-2 a b^7 B-2 a^8 C-a^6 b^2 (20 A+3 C)\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2} d}-\frac {(4 A b-a B) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^5 d}+\frac {\left (68 a^2 A b^4-24 A b^6+26 a^5 b B-17 a^3 b^3 B+6 a b^5 B+a^6 (6 A-11 C)-a^4 b^2 (65 A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (4 A b^4+6 a^3 b B-a b^3 B-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (11 a^2 A b^4-4 A b^6+6 a^5 b B-2 a^3 b^3 B+a b^5 B-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))} \]

[Out]

-(35*a^4*A*b^4-28*a^2*A*b^6+8*A*b^8+8*a^7*b*B-8*a^5*b^3*B+7*a^3*b^5*B-2*a*b^7*B-2*a^8*C-a^6*b^2*(20*A+3*C))*ar
ctan((a-b)^(1/2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1/2))/a^5/(a-b)^(7/2)/(a+b)^(7/2)/d-(4*A*b-B*a)*arctanh(sin(d*x+c))
/a^5/d+1/6*(68*a^2*A*b^4-24*A*b^6+26*B*a^5*b-17*B*a^3*b^3+6*B*a*b^5+a^6*(6*A-11*C)-a^4*b^2*(65*A+4*C))*tan(d*x
+c)/a^4/(a^2-b^2)^3/d+1/3*(A*b^2-a*(B*b-C*a))*tan(d*x+c)/a/(a^2-b^2)/d/(a+b*cos(d*x+c))^3-1/6*(4*A*b^4+6*B*a^3
*b-B*a*b^3-3*a^4*C-a^2*b^2*(9*A+2*C))*tan(d*x+c)/a^2/(a^2-b^2)^2/d/(a+b*cos(d*x+c))^2-1/2*(11*a^2*A*b^4-4*A*b^
6+6*B*a^5*b-2*B*a^3*b^3+B*a*b^5-2*a^6*C-3*a^4*b^2*(4*A+C))*tan(d*x+c)/a^3/(a^2-b^2)^3/d/(a+b*cos(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 10.64 (sec) , antiderivative size = 480, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 5, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.122, Rules used = {3134, 3080, 3855, 2738, 211} \[ \int \frac {\left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=-\frac {(4 A b-a B) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^5 d}+\frac {\tan (c+d x) \left (A b^2-a (b B-a C)\right )}{3 a d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\tan (c+d x) \left (-3 a^4 C+6 a^3 b B-a^2 b^2 (9 A+2 C)-a b^3 B+4 A b^4\right )}{6 a^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\tan (c+d x) \left (a^6 (6 A-11 C)+26 a^5 b B-a^4 b^2 (65 A+4 C)-17 a^3 b^3 B+68 a^2 A b^4+6 a b^5 B-24 A b^6\right )}{6 a^4 d \left (a^2-b^2\right )^3}-\frac {\tan (c+d x) \left (-2 a^6 C+6 a^5 b B-3 a^4 b^2 (4 A+C)-2 a^3 b^3 B+11 a^2 A b^4+a b^5 B-4 A b^6\right )}{2 a^3 d \left (a^2-b^2\right )^3 (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\left (-2 a^8 C+8 a^7 b B-a^6 b^2 (20 A+3 C)-8 a^5 b^3 B+35 a^4 A b^4+7 a^3 b^5 B-28 a^2 A b^6-2 a b^7 B+8 A b^8\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 d (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2}} \]

[In]

Int[((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4,x]

[Out]

-(((35*a^4*A*b^4 - 28*a^2*A*b^6 + 8*A*b^8 + 8*a^7*b*B - 8*a^5*b^3*B + 7*a^3*b^5*B - 2*a*b^7*B - 2*a^8*C - a^6*
b^2*(20*A + 3*C))*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d)) - (
(4*A*b - a*B)*ArcTanh[Sin[c + d*x]])/(a^5*d) + ((68*a^2*A*b^4 - 24*A*b^6 + 26*a^5*b*B - 17*a^3*b^3*B + 6*a*b^5
*B + a^6*(6*A - 11*C) - a^4*b^2*(65*A + 4*C))*Tan[c + d*x])/(6*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))
*Tan[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3) - ((4*A*b^4 + 6*a^3*b*B - a*b^3*B - 3*a^4*C - a^2*b^
2*(9*A + 2*C))*Tan[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((11*a^2*A*b^4 - 4*A*b^6 + 6*a^5
*b*B - 2*a^3*b^3*B + a*b^5*B - 2*a^6*C - 3*a^4*b^2*(4*A + C))*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[
c + d*x]))

Rule 211

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3080

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
+ (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Dist[(A*b - a*B)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*Sin[e + f*x]), x], x] + Dist[(B*c - A
*d)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
&& NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 3134

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 - a*b*B + a^2*C))*Cos[e
+ f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + D
ist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(m + 1)*
(b*c - a*d)*(a*A - b*B + a*C) + d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C) + (m + 1)*(
b*c - a*d)*(A*b - a*B + b*C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&
LtQ[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n]
&&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3855

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {\int \frac {\left (-4 A b^2+a b B+a^2 (3 A-C)-3 a (A b-a B+b C) \cos (c+d x)+3 \left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx}{3 a \left (a^2-b^2\right )} \\ & = \frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (4 A b^4+6 a^3 b B-a b^3 B-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\int \frac {\left (-23 a^2 A b^2+12 A b^4+8 a^3 b B-3 a b^3 B+a^4 (6 A-5 C)+2 a \left (A b^3+3 a^3 B+2 a b^2 B-a^2 b (6 A+5 C)\right ) \cos (c+d x)-2 \left (4 A b^4+6 a^3 b B-a b^3 B-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^2} \, dx}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (4 A b^4+6 a^3 b B-a b^3 B-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (11 a^2 A b^4-4 A b^6+6 a^5 b B-2 a^3 b^3 B+a b^5 B-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (68 a^2 A b^4-24 A b^6+26 a^5 b B-17 a^3 b^3 B+6 a b^5 B+a^6 (6 A-11 C)-a^4 b^2 (65 A+4 C)-a \left (4 A b^5-6 a^5 B-8 a^3 b^2 B-a b^4 B-a^2 b^3 (7 A-4 C)+a^4 b (18 A+11 C)\right ) \cos (c+d x)-3 \left (11 a^2 A b^4-4 A b^6+6 a^5 b B-2 a^3 b^3 B+a b^5 B-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {\left (68 a^2 A b^4-24 A b^6+26 a^5 b B-17 a^3 b^3 B+6 a b^5 B+a^6 (6 A-11 C)-a^4 b^2 (65 A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (4 A b^4+6 a^3 b B-a b^3 B-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (11 a^2 A b^4-4 A b^6+6 a^5 b B-2 a^3 b^3 B+a b^5 B-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (-6 \left (a^2-b^2\right )^3 (4 A b-a B)-3 a \left (11 a^2 A b^4-4 A b^6+6 a^5 b B-2 a^3 b^3 B+a b^5 B-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)\right ) \cos (c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {\left (68 a^2 A b^4-24 A b^6+26 a^5 b B-17 a^3 b^3 B+6 a b^5 B+a^6 (6 A-11 C)-a^4 b^2 (65 A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (4 A b^4+6 a^3 b B-a b^3 B-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (11 a^2 A b^4-4 A b^6+6 a^5 b B-2 a^3 b^3 B+a b^5 B-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {(4 A b-a B) \int \sec (c+d x) \, dx}{a^5}-\frac {\left (35 a^4 A b^4-28 a^2 A b^6+8 A b^8+8 a^7 b B-8 a^5 b^3 B+7 a^3 b^5 B-2 a b^7 B-2 a^8 C-a^6 b^2 (20 A+3 C)\right ) \int \frac {1}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 a^5 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = -\frac {(4 A b-a B) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^5 d}+\frac {\left (68 a^2 A b^4-24 A b^6+26 a^5 b B-17 a^3 b^3 B+6 a b^5 B+a^6 (6 A-11 C)-a^4 b^2 (65 A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (4 A b^4+6 a^3 b B-a b^3 B-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (11 a^2 A b^4-4 A b^6+6 a^5 b B-2 a^3 b^3 B+a b^5 B-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\left (35 a^4 A b^4-28 a^2 A b^6+8 A b^8+8 a^7 b B-8 a^5 b^3 B+7 a^3 b^5 B-2 a b^7 B-2 a^8 C-a^6 b^2 (20 A+3 C)\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b+(a-b) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{a^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d} \\ & = \frac {\left (20 a^6 A b^2-35 a^4 A b^4+28 a^2 A b^6-8 A b^8-8 a^7 b B+8 a^5 b^3 B-7 a^3 b^5 B+2 a b^7 B+2 a^8 C+3 a^6 b^2 C\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2} d}-\frac {(4 A b-a B) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^5 d}+\frac {\left (68 a^2 A b^4-24 A b^6+26 a^5 b B-17 a^3 b^3 B+6 a b^5 B+a^6 (6 A-11 C)-a^4 b^2 (65 A+4 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \tan (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\left (4 A b^4+6 a^3 b B-a b^3 B-3 a^4 C-a^2 b^2 (9 A+2 C)\right ) \tan (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (11 a^2 A b^4-4 A b^6+6 a^5 b B-2 a^3 b^3 B+a b^5 B-2 a^6 C-3 a^4 b^2 (4 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (warning: unable to verify)

Time = 7.10 (sec) , antiderivative size = 709, normalized size of antiderivative = 1.48 \[ \int \frac {\left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\frac {\cos (c+d x) \left (C+B \sec (c+d x)+A \sec ^2(c+d x)\right ) \left (\frac {48 \left (-35 a^4 A b^4+28 a^2 A b^6-8 A b^8-8 a^7 b B+8 a^5 b^3 B-7 a^3 b^5 B+2 a b^7 B+2 a^8 C+a^6 b^2 (20 A+3 C)\right ) \text {arctanh}\left (\frac {(a-b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {-a^2+b^2}}\right ) \cos (c+d x)}{\left (-a^2+b^2\right )^{7/2}}+48 (4 A b-a B) \cos (c+d x) \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )-\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )+48 (-4 A b+a B) \cos (c+d x) \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )+\frac {2 a \left (24 a^9 A-36 a^7 A b^2-246 a^5 A b^4+318 a^3 A b^6-120 a A b^8+120 a^6 b^3 B-90 a^4 b^5 B+30 a^2 b^7 B-54 a^7 b^2 C-6 a^5 b^4 C-b \left (-28 a^2 A b^6+72 A b^8-144 a^7 b B+50 a^5 b^3 B+7 a^3 b^5 B-18 a b^7 B-5 a^4 b^4 (61 A-4 C)-72 a^8 (A-C)+a^6 b^2 (438 A+13 C)\right ) \cos (c+d x)+6 a b^2 \left (57 a^2 A b^4-20 A b^6+20 a^5 b B-15 a^3 b^3 B+5 a b^5 B+a^6 (6 A-9 C)-a^4 b^2 (53 A+C)\right ) \cos (2 (c+d x))+6 a^6 A b^3 \cos (3 (c+d x))-65 a^4 A b^5 \cos (3 (c+d x))+68 a^2 A b^7 \cos (3 (c+d x))-24 A b^9 \cos (3 (c+d x))+26 a^5 b^4 B \cos (3 (c+d x))-17 a^3 b^6 B \cos (3 (c+d x))+6 a b^8 B \cos (3 (c+d x))-11 a^6 b^3 C \cos (3 (c+d x))-4 a^4 b^5 C \cos (3 (c+d x))\right ) \sin (c+d x)}{\left (a^2-b^2\right )^3 (a+b \cos (c+d x))^3}\right )}{24 a^5 d (2 A+C+2 B \cos (c+d x)+C \cos (2 (c+d x)))} \]

[In]

Integrate[((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^4,x]

[Out]

(Cos[c + d*x]*(C + B*Sec[c + d*x] + A*Sec[c + d*x]^2)*((48*(-35*a^4*A*b^4 + 28*a^2*A*b^6 - 8*A*b^8 - 8*a^7*b*B
+ 8*a^5*b^3*B - 7*a^3*b^5*B + 2*a*b^7*B + 2*a^8*C + a^6*b^2*(20*A + 3*C))*ArcTanh[((a - b)*Tan[(c + d*x)/2])/
Sqrt[-a^2 + b^2]]*Cos[c + d*x])/(-a^2 + b^2)^(7/2) + 48*(4*A*b - a*B)*Cos[c + d*x]*Log[Cos[(c + d*x)/2] - Sin[
(c + d*x)/2]] + 48*(-4*A*b + a*B)*Cos[c + d*x]*Log[Cos[(c + d*x)/2] + Sin[(c + d*x)/2]] + (2*a*(24*a^9*A - 36*
a^7*A*b^2 - 246*a^5*A*b^4 + 318*a^3*A*b^6 - 120*a*A*b^8 + 120*a^6*b^3*B - 90*a^4*b^5*B + 30*a^2*b^7*B - 54*a^7
*b^2*C - 6*a^5*b^4*C - b*(-28*a^2*A*b^6 + 72*A*b^8 - 144*a^7*b*B + 50*a^5*b^3*B + 7*a^3*b^5*B - 18*a*b^7*B - 5
*a^4*b^4*(61*A - 4*C) - 72*a^8*(A - C) + a^6*b^2*(438*A + 13*C))*Cos[c + d*x] + 6*a*b^2*(57*a^2*A*b^4 - 20*A*b
^6 + 20*a^5*b*B - 15*a^3*b^3*B + 5*a*b^5*B + a^6*(6*A - 9*C) - a^4*b^2*(53*A + C))*Cos[2*(c + d*x)] + 6*a^6*A*
b^3*Cos[3*(c + d*x)] - 65*a^4*A*b^5*Cos[3*(c + d*x)] + 68*a^2*A*b^7*Cos[3*(c + d*x)] - 24*A*b^9*Cos[3*(c + d*x
)] + 26*a^5*b^4*B*Cos[3*(c + d*x)] - 17*a^3*b^6*B*Cos[3*(c + d*x)] + 6*a*b^8*B*Cos[3*(c + d*x)] - 11*a^6*b^3*C
*Cos[3*(c + d*x)] - 4*a^4*b^5*C*Cos[3*(c + d*x)])*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)^3*(a + b*Cos[c + d*x])^3)))/(24*a
^5*d*(2*A + C + 2*B*Cos[c + d*x] + C*Cos[2*(c + d*x)]))

Maple [A] (verified)

Time = 1.68 (sec) , antiderivative size = 675, normalized size of antiderivative = 1.41

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {-\frac {A}{a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}+\frac {\left (-4 A b +B a \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{a^{5}}-\frac {A}{a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}+\frac {\left (4 A b -B a \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{a^{5}}+\frac {\frac {2 \left (-\frac {\left (20 A \,a^{4} b^{2}+5 A \,a^{3} b^{3}-18 a^{2} A \,b^{4}-2 A a \,b^{5}+6 A \,b^{6}-12 B \,a^{5} b -4 B \,a^{4} b^{2}+6 B \,a^{3} b^{3}+B \,a^{2} b^{4}-2 B a \,b^{5}+6 a^{6} C +3 C \,a^{5} b +2 a^{4} b^{2} C \right ) a b \left (\tan ^{5}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 b^{2} a +b^{3}\right )}-\frac {2 \left (30 A \,a^{4} b^{2}-29 a^{2} A \,b^{4}+9 A \,b^{6}-18 B \,a^{5} b +11 B \,a^{3} b^{3}-3 B a \,b^{5}+9 a^{6} C +a^{4} b^{2} C \right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{3 \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right )}-\frac {\left (20 A \,a^{4} b^{2}-5 A \,a^{3} b^{3}-18 a^{2} A \,b^{4}+2 A a \,b^{5}+6 A \,b^{6}-12 B \,a^{5} b +4 B \,a^{4} b^{2}+6 B \,a^{3} b^{3}-B \,a^{2} b^{4}-2 B a \,b^{5}+6 a^{6} C -3 C \,a^{5} b +2 a^{4} b^{2} C \right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 b^{2} a -b^{3}\right )}\right )}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) b +a +b \right )}^{3}}+\frac {\left (20 A \,a^{6} b^{2}-35 a^{4} A \,b^{4}+28 a^{2} A \,b^{6}-8 A \,b^{8}-8 a^{7} b B +8 a^{5} b^{3} B -7 a^{3} b^{5} B +2 a \,b^{7} B +2 a^{8} C +3 a^{6} b^{2} C \right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{\left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}}{a^{5}}}{d}\)	\(675\)
default	\(\frac {-\frac {A}{a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}+\frac {\left (-4 A b +B a \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{a^{5}}-\frac {A}{a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}+\frac {\left (4 A b -B a \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{a^{5}}+\frac {\frac {2 \left (-\frac {\left (20 A \,a^{4} b^{2}+5 A \,a^{3} b^{3}-18 a^{2} A \,b^{4}-2 A a \,b^{5}+6 A \,b^{6}-12 B \,a^{5} b -4 B \,a^{4} b^{2}+6 B \,a^{3} b^{3}+B \,a^{2} b^{4}-2 B a \,b^{5}+6 a^{6} C +3 C \,a^{5} b +2 a^{4} b^{2} C \right ) a b \left (\tan ^{5}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 b^{2} a +b^{3}\right )}-\frac {2 \left (30 A \,a^{4} b^{2}-29 a^{2} A \,b^{4}+9 A \,b^{6}-18 B \,a^{5} b +11 B \,a^{3} b^{3}-3 B a \,b^{5}+9 a^{6} C +a^{4} b^{2} C \right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{3 \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right )}-\frac {\left (20 A \,a^{4} b^{2}-5 A \,a^{3} b^{3}-18 a^{2} A \,b^{4}+2 A a \,b^{5}+6 A \,b^{6}-12 B \,a^{5} b +4 B \,a^{4} b^{2}+6 B \,a^{3} b^{3}-B \,a^{2} b^{4}-2 B a \,b^{5}+6 a^{6} C -3 C \,a^{5} b +2 a^{4} b^{2} C \right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 b^{2} a -b^{3}\right )}\right )}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) b +a +b \right )}^{3}}+\frac {\left (20 A \,a^{6} b^{2}-35 a^{4} A \,b^{4}+28 a^{2} A \,b^{6}-8 A \,b^{8}-8 a^{7} b B +8 a^{5} b^{3} B -7 a^{3} b^{5} B +2 a \,b^{7} B +2 a^{8} C +3 a^{6} b^{2} C \right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{\left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}}{a^{5}}}{d}\)	\(675\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(3228\)

[In]

int((A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^2/(a+b*cos(d*x+c))^4,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(-A/a^4/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)+1/a^5*(-4*A*b+B*a)*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)-A/a^4/(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1)+(4
*A*b-B*a)/a^5*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1)+2/a^5*((-1/2*(20*A*a^4*b^2+5*A*a^3*b^3-18*A*a^2*b^4-2*A*a*b^5+6*A*b^6-1
2*B*a^5*b-4*B*a^4*b^2+6*B*a^3*b^3+B*a^2*b^4-2*B*a*b^5+6*C*a^6+3*C*a^5*b+2*C*a^4*b^2)*a*b/(a-b)/(a^3+3*a^2*b+3*
a*b^2+b^3)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^5-2/3*(30*A*a^4*b^2-29*A*a^2*b^4+9*A*b^6-18*B*a^5*b+11*B*a^3*b^3-3*B*a*b^5+9*C*a
^6+C*a^4*b^2)*a*b/(a^2+2*a*b+b^2)/(a^2-2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3-1/2*(20*A*a^4*b^2-5*A*a^3*b^3-18*A*a^2*
b^4+2*A*a*b^5+6*A*b^6-12*B*a^5*b+4*B*a^4*b^2+6*B*a^3*b^3-B*a^2*b^4-2*B*a*b^5+6*C*a^6-3*C*a^5*b+2*C*a^4*b^2)*a*
b/(a+b)/(a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3)*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^3+1/
2*(20*A*a^6*b^2-35*A*a^4*b^4+28*A*a^2*b^6-8*A*b^8-8*B*a^7*b+8*B*a^5*b^3-7*B*a^3*b^5+2*B*a*b^7+2*C*a^8+3*C*a^6*
b^2)/(a^6-3*a^4*b^2+3*a^2*b^4-b^6)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan((a-b)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/((a-b)*(a+b))^(1/2))))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1764 vs. \(2 (457) = 914\).

Time = 172.34 (sec) , antiderivative size = 3598, normalized size of antiderivative = 7.50 \[ \int \frac {\left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^2/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/12*(3*((2*C*a^8*b^3 - 8*B*a^7*b^4 + (20*A + 3*C)*a^6*b^5 + 8*B*a^5*b^6 - 35*A*a^4*b^7 - 7*B*a^3*b^8 + 28*A
*a^2*b^9 + 2*B*a*b^10 - 8*A*b^11)*cos(d*x + c)^4 + 3*(2*C*a^9*b^2 - 8*B*a^8*b^3 + (20*A + 3*C)*a^7*b^4 + 8*B*a
^6*b^5 - 35*A*a^5*b^6 - 7*B*a^4*b^7 + 28*A*a^3*b^8 + 2*B*a^2*b^9 - 8*A*a*b^10)*cos(d*x + c)^3 + 3*(2*C*a^10*b
- 8*B*a^9*b^2 + (20*A + 3*C)*a^8*b^3 + 8*B*a^7*b^4 - 35*A*a^6*b^5 - 7*B*a^5*b^6 + 28*A*a^4*b^7 + 2*B*a^3*b^8 -
8*A*a^2*b^9)*cos(d*x + c)^2 + (2*C*a^11 - 8*B*a^10*b + (20*A + 3*C)*a^9*b^2 + 8*B*a^8*b^3 - 35*A*a^7*b^4 - 7*
B*a^6*b^5 + 28*A*a^5*b^6 + 2*B*a^4*b^7 - 8*A*a^3*b^8)*cos(d*x + c))*sqrt(-a^2 + b^2)*log((2*a*b*cos(d*x + c) +
(2*a^2 - b^2)*cos(d*x + c)^2 + 2*sqrt(-a^2 + b^2)*(a*cos(d*x + c) + b)*sin(d*x + c) - a^2 + 2*b^2)/(b^2*cos(d
*x + c)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c) + a^2)) - 6*((B*a^9*b^3 - 4*A*a^8*b^4 - 4*B*a^7*b^5 + 16*A*a^6*b^6 + 6*B*a^5*b^
7 - 24*A*a^4*b^8 - 4*B*a^3*b^9 + 16*A*a^2*b^10 + B*a*b^11 - 4*A*b^12)*cos(d*x + c)^4 + 3*(B*a^10*b^2 - 4*A*a^9
*b^3 - 4*B*a^8*b^4 + 16*A*a^7*b^5 + 6*B*a^6*b^6 - 24*A*a^5*b^7 - 4*B*a^4*b^8 + 16*A*a^3*b^9 + B*a^2*b^10 - 4*A
*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(B*a^11*b - 4*A*a^10*b^2 - 4*B*a^9*b^3 + 16*A*a^8*b^4 + 6*B*a^7*b^5 - 24*A*a^6*b^6
- 4*B*a^5*b^7 + 16*A*a^4*b^8 + B*a^3*b^9 - 4*A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (B*a^12 - 4*A*a^11*b - 4*B*a^10*b^2
+ 16*A*a^9*b^3 + 6*B*a^8*b^4 - 24*A*a^7*b^5 - 4*B*a^6*b^6 + 16*A*a^5*b^7 + B*a^4*b^8 - 4*A*a^3*b^9)*cos(d*x +
c))*log(sin(d*x + c) + 1) + 6*((B*a^9*b^3 - 4*A*a^8*b^4 - 4*B*a^7*b^5 + 16*A*a^6*b^6 + 6*B*a^5*b^7 - 24*A*a^4
*b^8 - 4*B*a^3*b^9 + 16*A*a^2*b^10 + B*a*b^11 - 4*A*b^12)*cos(d*x + c)^4 + 3*(B*a^10*b^2 - 4*A*a^9*b^3 - 4*B*a
^8*b^4 + 16*A*a^7*b^5 + 6*B*a^6*b^6 - 24*A*a^5*b^7 - 4*B*a^4*b^8 + 16*A*a^3*b^9 + B*a^2*b^10 - 4*A*a*b^11)*cos
(d*x + c)^3 + 3*(B*a^11*b - 4*A*a^10*b^2 - 4*B*a^9*b^3 + 16*A*a^8*b^4 + 6*B*a^7*b^5 - 24*A*a^6*b^6 - 4*B*a^5*b
^7 + 16*A*a^4*b^8 + B*a^3*b^9 - 4*A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (B*a^12 - 4*A*a^11*b - 4*B*a^10*b^2 + 16*A*a^9*
b^3 + 6*B*a^8*b^4 - 24*A*a^7*b^5 - 4*B*a^6*b^6 + 16*A*a^5*b^7 + B*a^4*b^8 - 4*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*log(-si
n(d*x + c) + 1) - 2*(6*A*a^12 - 24*A*a^10*b^2 + 36*A*a^8*b^4 - 24*A*a^6*b^6 + 6*A*a^4*b^8 + ((6*A - 11*C)*a^9*
b^3 + 26*B*a^8*b^4 - (71*A - 7*C)*a^7*b^5 - 43*B*a^6*b^6 + (133*A + 4*C)*a^5*b^7 + 23*B*a^4*b^8 - 92*A*a^3*b^9
- 6*B*a^2*b^10 + 24*A*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(3*(2*A - 3*C)*a^10*b^2 + 20*B*a^9*b^3 - (59*A - 8*C)*a^8*b^
4 - 35*B*a^7*b^5 + (110*A + C)*a^6*b^6 + 20*B*a^5*b^7 - 77*A*a^4*b^8 - 5*B*a^3*b^9 + 20*A*a^2*b^10)*cos(d*x +
c)^2 + (18*(A - C)*a^11*b + 36*B*a^10*b^2 - (132*A - 23*C)*a^9*b^3 - 68*B*a^8*b^4 + (239*A - 7*C)*a^7*b^5 + 43
*B*a^6*b^6 - (169*A - 2*C)*a^5*b^7 - 11*B*a^4*b^8 + 44*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^13*b^3 - 4*a
^11*b^5 + 6*a^9*b^7 - 4*a^7*b^9 + a^5*b^11)*d*cos(d*x + c)^4 + 3*(a^14*b^2 - 4*a^12*b^4 + 6*a^10*b^6 - 4*a^8*b
^8 + a^6*b^10)*d*cos(d*x + c)^3 + 3*(a^15*b - 4*a^13*b^3 + 6*a^11*b^5 - 4*a^9*b^7 + a^7*b^9)*d*cos(d*x + c)^2
+ (a^16 - 4*a^14*b^2 + 6*a^12*b^4 - 4*a^10*b^6 + a^8*b^8)*d*cos(d*x + c)), 1/6*(3*((2*C*a^8*b^3 - 8*B*a^7*b^4
+ (20*A + 3*C)*a^6*b^5 + 8*B*a^5*b^6 - 35*A*a^4*b^7 - 7*B*a^3*b^8 + 28*A*a^2*b^9 + 2*B*a*b^10 - 8*A*b^11)*cos(
d*x + c)^4 + 3*(2*C*a^9*b^2 - 8*B*a^8*b^3 + (20*A + 3*C)*a^7*b^4 + 8*B*a^6*b^5 - 35*A*a^5*b^6 - 7*B*a^4*b^7 +
28*A*a^3*b^8 + 2*B*a^2*b^9 - 8*A*a*b^10)*cos(d*x + c)^3 + 3*(2*C*a^10*b - 8*B*a^9*b^2 + (20*A + 3*C)*a^8*b^3 +
8*B*a^7*b^4 - 35*A*a^6*b^5 - 7*B*a^5*b^6 + 28*A*a^4*b^7 + 2*B*a^3*b^8 - 8*A*a^2*b^9)*cos(d*x + c)^2 + (2*C*a^
11 - 8*B*a^10*b + (20*A + 3*C)*a^9*b^2 + 8*B*a^8*b^3 - 35*A*a^7*b^4 - 7*B*a^6*b^5 + 28*A*a^5*b^6 + 2*B*a^4*b^7
- 8*A*a^3*b^8)*cos(d*x + c))*sqrt(a^2 - b^2)*arctan(-(a*cos(d*x + c) + b)/(sqrt(a^2 - b^2)*sin(d*x + c))) + 3
*((B*a^9*b^3 - 4*A*a^8*b^4 - 4*B*a^7*b^5 + 16*A*a^6*b^6 + 6*B*a^5*b^7 - 24*A*a^4*b^8 - 4*B*a^3*b^9 + 16*A*a^2*
b^10 + B*a*b^11 - 4*A*b^12)*cos(d*x + c)^4 + 3*(B*a^10*b^2 - 4*A*a^9*b^3 - 4*B*a^8*b^4 + 16*A*a^7*b^5 + 6*B*a^
6*b^6 - 24*A*a^5*b^7 - 4*B*a^4*b^8 + 16*A*a^3*b^9 + B*a^2*b^10 - 4*A*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(B*a^11*b - 4*
A*a^10*b^2 - 4*B*a^9*b^3 + 16*A*a^8*b^4 + 6*B*a^7*b^5 - 24*A*a^6*b^6 - 4*B*a^5*b^7 + 16*A*a^4*b^8 + B*a^3*b^9
- 4*A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (B*a^12 - 4*A*a^11*b - 4*B*a^10*b^2 + 16*A*a^9*b^3 + 6*B*a^8*b^4 - 24*A*a^7*b
^5 - 4*B*a^6*b^6 + 16*A*a^5*b^7 + B*a^4*b^8 - 4*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*log(sin(d*x + c) + 1) - 3*((B*a^9*b^3
- 4*A*a^8*b^4 - 4*B*a^7*b^5 + 16*A*a^6*b^6 + 6*B*a^5*b^7 - 24*A*a^4*b^8 - 4*B*a^3*b^9 + 16*A*a^2*b^10 + B*a*b
^11 - 4*A*b^12)*cos(d*x + c)^4 + 3*(B*a^10*b^2 - 4*A*a^9*b^3 - 4*B*a^8*b^4 + 16*A*a^7*b^5 + 6*B*a^6*b^6 - 24*A
*a^5*b^7 - 4*B*a^4*b^8 + 16*A*a^3*b^9 + B*a^2*b^10 - 4*A*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(B*a^11*b - 4*A*a^10*b^2 -
4*B*a^9*b^3 + 16*A*a^8*b^4 + 6*B*a^7*b^5 - 24*A*a^6*b^6 - 4*B*a^5*b^7 + 16*A*a^4*b^8 + B*a^3*b^9 - 4*A*a^2*b^
10)*cos(d*x + c)^2 + (B*a^12 - 4*A*a^11*b - 4*B*a^10*b^2 + 16*A*a^9*b^3 + 6*B*a^8*b^4 - 24*A*a^7*b^5 - 4*B*a^6
*b^6 + 16*A*a^5*b^7 + B*a^4*b^8 - 4*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*log(-sin(d*x + c) + 1) + (6*A*a^12 - 24*A*a^10*b^
2 + 36*A*a^8*b^4 - 24*A*a^6*b^6 + 6*A*a^4*b^8 + ((6*A - 11*C)*a^9*b^3 + 26*B*a^8*b^4 - (71*A - 7*C)*a^7*b^5 -
43*B*a^6*b^6 + (133*A + 4*C)*a^5*b^7 + 23*B*a^4*b^8 - 92*A*a^3*b^9 - 6*B*a^2*b^10 + 24*A*a*b^11)*cos(d*x + c)^
3 + 3*(3*(2*A - 3*C)*a^10*b^2 + 20*B*a^9*b^3 - (59*A - 8*C)*a^8*b^4 - 35*B*a^7*b^5 + (110*A + C)*a^6*b^6 + 20*
B*a^5*b^7 - 77*A*a^4*b^8 - 5*B*a^3*b^9 + 20*A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + (18*(A - C)*a^11*b + 36*B*a^10*b^2 -
(132*A - 23*C)*a^9*b^3 - 68*B*a^8*b^4 + (239*A - 7*C)*a^7*b^5 + 43*B*a^6*b^6 - (169*A - 2*C)*a^5*b^7 - 11*B*a^
4*b^8 + 44*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^13*b^3 - 4*a^11*b^5 + 6*a^9*b^7 - 4*a^7*b^9 + a^5*b^11)*
d*cos(d*x + c)^4 + 3*(a^14*b^2 - 4*a^12*b^4 + 6*a^10*b^6 - 4*a^8*b^8 + a^6*b^10)*d*cos(d*x + c)^3 + 3*(a^15*b
- 4*a^13*b^3 + 6*a^11*b^5 - 4*a^9*b^7 + a^7*b^9)*d*cos(d*x + c)^2 + (a^16 - 4*a^14*b^2 + 6*a^12*b^4 - 4*a^10*b
^6 + a^8*b^8)*d*cos(d*x + c))]

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)**2)*sec(d*x+c)**2/(a+b*cos(d*x+c))**4,x)

[Out]

Timed out

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {\left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^2/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*b^2-4*a^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1255 vs. \(2 (457) = 914\).

Time = 0.41 (sec) , antiderivative size = 1255, normalized size of antiderivative = 2.61 \[ \int \frac {\left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^2/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/3*(3*(2*C*a^8 - 8*B*a^7*b + 20*A*a^6*b^2 + 3*C*a^6*b^2 + 8*B*a^5*b^3 - 35*A*a^4*b^4 - 7*B*a^3*b^5 + 28*A*a^
2*b^6 + 2*B*a*b^7 - 8*A*b^8)*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2)*sgn(-2*a + 2*b) + arctan(-(a*tan(1/2*d*x + 1/2*
c) - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/sqrt(a^2 - b^2)))/((a^11 - 3*a^9*b^2 + 3*a^7*b^4 - a^5*b^6)*sqrt(a^2 - b^2)) + (1
8*C*a^8*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 36*B*a^7*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 27*C*a^7*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 +
60*A*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 60*B*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*C*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^
5 - 105*A*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*B*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 3*C*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*
c)^5 - 24*A*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 45*B*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*C*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1
/2*c)^5 + 117*A*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*B*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 24*A*a^2*b^7*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c)^5 + 15*B*a^2*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 42*A*a*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 6*B*a*b^8*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c)^5 + 18*A*b^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 36*C*a^8*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 72*B*a^7*b^2*tan(1/2*d*x +
1/2*c)^3 + 120*A*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 32*C*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 116*B*a^5*b^4*tan(1/2*
d*x + 1/2*c)^3 - 236*A*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 4*C*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 56*B*a^3*b^6*tan(
1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 152*A*a^2*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 12*B*a*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 36*A*b^9*tan(1
/2*d*x + 1/2*c)^3 + 18*C*a^8*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 36*B*a^7*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 27*C*a^7*b^2*tan(1/2
*d*x + 1/2*c) + 60*A*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 60*B*a^6*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 6*C*a^6*b^3*tan(1/2*d*
x + 1/2*c) + 105*A*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 6*B*a^5*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 3*C*a^5*b^4*tan(1/2*d*x +
1/2*c) - 24*A*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 45*B*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 6*C*a^4*b^5*tan(1/2*d*x + 1/
2*c) - 117*A*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 6*B*a^3*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 24*A*a^2*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*
c) - 15*B*a^2*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 42*A*a*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 6*B*a*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 18
*A*b^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((a^10 - 3*a^8*b^2 + 3*a^6*b^4 - a^4*b^6)*(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - b*tan(1/2*d
*x + 1/2*c)^2 + a + b)^3) - 3*(B*a - 4*A*b)*log(abs(tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 1))/a^5 + 3*(B*a - 4*A*b)*log(abs(t
an(1/2*d*x + 1/2*c) - 1))/a^5 + 6*A*tan(1/2*d*x + 1/2*c)/((tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - 1)*a^4))/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 17.39 (sec) , antiderivative size = 15980, normalized size of antiderivative = 33.29 \[ \int \frac {\left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int((A + B*cos(c + d*x) + C*cos(c + d*x)^2)/(cos(c + d*x)^2*(a + b*cos(c + d*x))^4),x)

[Out]

((tan(c/2 + (d*x)/2)^7*(2*A*a^7 + 8*A*b^7 - 24*A*a^2*b^5 + 11*A*a^3*b^4 + 26*A*a^4*b^3 - 6*A*a^5*b^2 + B*a^2*b
^5 + 6*B*a^3*b^4 - 4*B*a^4*b^3 - 12*B*a^5*b^2 + 2*C*a^4*b^3 + 3*C*a^5*b^2 - 4*A*a*b^6 - 2*A*a^6*b - 2*B*a*b^6
+ 6*C*a^6*b))/(a^4*(a + b)^3*(a - b)) + (tan(c/2 + (d*x)/2)*(2*A*a^7 - 8*A*b^7 + 24*A*a^2*b^5 + 11*A*a^3*b^4 -
26*A*a^4*b^3 - 6*A*a^5*b^2 + B*a^2*b^5 - 6*B*a^3*b^4 - 4*B*a^4*b^3 + 12*B*a^5*b^2 - 2*C*a^4*b^3 + 3*C*a^5*b^2
- 4*A*a*b^6 + 2*A*a^6*b + 2*B*a*b^6 - 6*C*a^6*b))/(a^4*(a + b)*(a - b)^3) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(18*A*a^8 +
72*A*b^8 - 236*A*a^2*b^6 + 47*A*a^3*b^5 + 273*A*a^4*b^4 - 60*A*a^5*b^3 - 72*A*a^6*b^2 + 3*B*a^2*b^6 + 59*B*a^
3*b^5 - 14*B*a^4*b^4 - 96*B*a^5*b^3 + 36*B*a^6*b^2 + 10*C*a^4*b^4 - 7*C*a^5*b^3 + 45*C*a^6*b^2 - 12*A*a*b^7 -
18*B*a*b^7 - 18*C*a^7*b))/(3*a^4*(a + b)^2*(a - b)^3) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(18*A*a^8 + 72*A*b^8 - 236*A*a^2
*b^6 - 47*A*a^3*b^5 + 273*A*a^4*b^4 + 60*A*a^5*b^3 - 72*A*a^6*b^2 - 3*B*a^2*b^6 + 59*B*a^3*b^5 + 14*B*a^4*b^4
- 96*B*a^5*b^3 - 36*B*a^6*b^2 + 10*C*a^4*b^4 + 7*C*a^5*b^3 + 45*C*a^6*b^2 + 12*A*a*b^7 - 18*B*a*b^7 + 18*C*a^7
*b))/(3*a^4*(a + b)^3*(a - b)^2))/(d*(3*a*b^2 + 3*a^2*b - tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(6*a^2*b - 6*b^3) - tan(c/2 + (
d*x)/2)^2*(6*a*b^2 - 2*a^3 + 4*b^3) - tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(2*a^3 - 6*a*b^2 + 4*b^3) + a^3 + b^3 - tan(c/2 + (
d*x)/2)^8*(3*a*b^2 - 3*a^2*b + a^3 - b^3))) + (atan((((4*A*b - B*a)*(((4*A*b - B*a)*((8*(4*B*a^24 + 4*C*a^24 +
16*A*a^10*b^14 - 8*A*a^11*b^13 - 104*A*a^12*b^12 + 50*A*a^13*b^11 + 286*A*a^14*b^10 - 126*A*a^15*b^9 - 434*A*
a^16*b^8 + 174*A*a^17*b^7 + 386*A*a^18*b^6 - 146*A*a^19*b^5 - 190*A*a^20*b^4 + 72*A*a^21*b^3 + 40*A*a^22*b^2 -
4*B*a^11*b^13 + 2*B*a^12*b^12 + 26*B*a^13*b^11 - 14*B*a^14*b^10 - 70*B*a^15*b^9 + 30*B*a^16*b^8 + 110*B*a^17*
b^7 - 30*B*a^18*b^6 - 110*B*a^19*b^5 + 20*B*a^20*b^4 + 64*B*a^21*b^3 - 12*B*a^22*b^2 + 6*C*a^15*b^9 - 6*C*a^16
*b^8 - 14*C*a^17*b^7 + 14*C*a^18*b^6 + 6*C*a^19*b^5 - 6*C*a^20*b^4 + 6*C*a^21*b^3 - 6*C*a^22*b^2 - 16*A*a^23*b
- 16*B*a^23*b - 4*C*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 -
10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A*b - B*a)*(8*a
^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8
- 160*a^17*b^7 - 120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/(a^5*(a^18*b + a^19 -
a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16
*b^3 - 5*a^17*b^2))))/a^5 - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*B^2*a^16 + 4*C^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 8
*B^2*a^15*b - 768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10
+ 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b
^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 8*B^2*a^2*b^14 - 8*B^2*a^3*b^13 - 48*B^2*a^4*b^12 + 48*B^2*a^5*b^11
+ 117*B^2*a^6*b^10 - 120*B^2*a^7*b^9 - 164*B^2*a^8*b^8 + 160*B^2*a^9*b^7 + 156*B^2*a^10*b^6 - 120*B^2*a^11*b^5
- 92*B^2*a^12*b^4 + 48*B^2*a^13*b^3 + 44*B^2*a^14*b^2 + 9*C^2*a^12*b^4 + 12*C^2*a^14*b^2 - 64*A*B*a*b^15 - 32
*A*B*a^15*b - 32*B*C*a^15*b + 64*A*B*a^2*b^14 + 384*A*B*a^3*b^13 - 384*A*B*a^4*b^12 - 948*A*B*a^5*b^11 + 960*A
*B*a^6*b^10 + 1306*A*B*a^7*b^9 - 1280*A*B*a^8*b^8 - 1128*A*B*a^9*b^7 + 960*A*B*a^10*b^6 + 592*A*B*a^11*b^5 - 3
84*A*B*a^12*b^4 - 160*A*B*a^13*b^3 + 64*A*B*a^14*b^2 - 48*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 98*A*C*a^10*b^6 - 2
0*A*C*a^12*b^4 + 80*A*C*a^14*b^2 + 12*B*C*a^7*b^9 - 34*B*C*a^9*b^7 + 20*B*C*a^11*b^5 - 16*B*C*a^13*b^3))/(a^18
*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*
b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2))*1i)/a^5 - ((4*A*b - B*a)*(((4*A*b - B*a)*((8*(4*B*a^24 + 4*C*a^24 + 16*A*a^10*
b^14 - 8*A*a^11*b^13 - 104*A*a^12*b^12 + 50*A*a^13*b^11 + 286*A*a^14*b^10 - 126*A*a^15*b^9 - 434*A*a^16*b^8 +
174*A*a^17*b^7 + 386*A*a^18*b^6 - 146*A*a^19*b^5 - 190*A*a^20*b^4 + 72*A*a^21*b^3 + 40*A*a^22*b^2 - 4*B*a^11*b
^13 + 2*B*a^12*b^12 + 26*B*a^13*b^11 - 14*B*a^14*b^10 - 70*B*a^15*b^9 + 30*B*a^16*b^8 + 110*B*a^17*b^7 - 30*B*
a^18*b^6 - 110*B*a^19*b^5 + 20*B*a^20*b^4 + 64*B*a^21*b^3 - 12*B*a^22*b^2 + 6*C*a^15*b^9 - 6*C*a^16*b^8 - 14*C
*a^17*b^7 + 14*C*a^18*b^6 + 6*C*a^19*b^5 - 6*C*a^20*b^4 + 6*C*a^21*b^3 - 6*C*a^22*b^2 - 16*A*a^23*b - 16*B*a^2
3*b - 4*C*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^
6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A*b - B*a)*(8*a^23*b - 8*a
^10*b^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*
b^7 - 120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/(a^5*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 -
a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^
17*b^2))))/a^5 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*B^2*a^16 + 4*C^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 8*B^2*a^15*b
- 768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*
a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^
2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 8*B^2*a^2*b^14 - 8*B^2*a^3*b^13 - 48*B^2*a^4*b^12 + 48*B^2*a^5*b^11 + 117*B^2*a
^6*b^10 - 120*B^2*a^7*b^9 - 164*B^2*a^8*b^8 + 160*B^2*a^9*b^7 + 156*B^2*a^10*b^6 - 120*B^2*a^11*b^5 - 92*B^2*a
^12*b^4 + 48*B^2*a^13*b^3 + 44*B^2*a^14*b^2 + 9*C^2*a^12*b^4 + 12*C^2*a^14*b^2 - 64*A*B*a*b^15 - 32*A*B*a^15*b
- 32*B*C*a^15*b + 64*A*B*a^2*b^14 + 384*A*B*a^3*b^13 - 384*A*B*a^4*b^12 - 948*A*B*a^5*b^11 + 960*A*B*a^6*b^10
+ 1306*A*B*a^7*b^9 - 1280*A*B*a^8*b^8 - 1128*A*B*a^9*b^7 + 960*A*B*a^10*b^6 + 592*A*B*a^11*b^5 - 384*A*B*a^12
*b^4 - 160*A*B*a^13*b^3 + 64*A*B*a^14*b^2 - 48*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 98*A*C*a^10*b^6 - 20*A*C*a^12*
b^4 + 80*A*C*a^14*b^2 + 12*B*C*a^7*b^9 - 34*B*C*a^9*b^7 + 20*B*C*a^11*b^5 - 16*B*C*a^13*b^3))/(a^18*b + a^19 -
a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^1
6*b^3 - 5*a^17*b^2))*1i)/a^5)/(((4*A*b - B*a)*(((4*A*b - B*a)*((8*(4*B*a^24 + 4*C*a^24 + 16*A*a^10*b^14 - 8*A*
a^11*b^13 - 104*A*a^12*b^12 + 50*A*a^13*b^11 + 286*A*a^14*b^10 - 126*A*a^15*b^9 - 434*A*a^16*b^8 + 174*A*a^17*
b^7 + 386*A*a^18*b^6 - 146*A*a^19*b^5 - 190*A*a^20*b^4 + 72*A*a^21*b^3 + 40*A*a^22*b^2 - 4*B*a^11*b^13 + 2*B*a
^12*b^12 + 26*B*a^13*b^11 - 14*B*a^14*b^10 - 70*B*a^15*b^9 + 30*B*a^16*b^8 + 110*B*a^17*b^7 - 30*B*a^18*b^6 -
110*B*a^19*b^5 + 20*B*a^20*b^4 + 64*B*a^21*b^3 - 12*B*a^22*b^2 + 6*C*a^15*b^9 - 6*C*a^16*b^8 - 14*C*a^17*b^7 +
14*C*a^18*b^6 + 6*C*a^19*b^5 - 6*C*a^20*b^4 + 6*C*a^21*b^3 - 6*C*a^22*b^2 - 16*A*a^23*b - 16*B*a^23*b - 4*C*a
^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18
*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A*b - B*a)*(8*a^23*b - 8*a^10*b^14 +
8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 - 120*a
^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/(a^5*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 +
5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2))))/
a^5 - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*B^2*a^16 + 4*C^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 8*B^2*a^15*b - 768*A^2*
a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^7*b^9 + 2
025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*a^13*b^3
+ 64*A^2*a^14*b^2 + 8*B^2*a^2*b^14 - 8*B^2*a^3*b^13 - 48*B^2*a^4*b^12 + 48*B^2*a^5*b^11 + 117*B^2*a^6*b^10 - 1
20*B^2*a^7*b^9 - 164*B^2*a^8*b^8 + 160*B^2*a^9*b^7 + 156*B^2*a^10*b^6 - 120*B^2*a^11*b^5 - 92*B^2*a^12*b^4 + 4
8*B^2*a^13*b^3 + 44*B^2*a^14*b^2 + 9*C^2*a^12*b^4 + 12*C^2*a^14*b^2 - 64*A*B*a*b^15 - 32*A*B*a^15*b - 32*B*C*a
^15*b + 64*A*B*a^2*b^14 + 384*A*B*a^3*b^13 - 384*A*B*a^4*b^12 - 948*A*B*a^5*b^11 + 960*A*B*a^6*b^10 + 1306*A*B
*a^7*b^9 - 1280*A*B*a^8*b^8 - 1128*A*B*a^9*b^7 + 960*A*B*a^10*b^6 + 592*A*B*a^11*b^5 - 384*A*B*a^12*b^4 - 160*
A*B*a^13*b^3 + 64*A*B*a^14*b^2 - 48*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 98*A*C*a^10*b^6 - 20*A*C*a^12*b^4 + 80*A*
C*a^14*b^2 + 12*B*C*a^7*b^9 - 34*B*C*a^9*b^7 + 20*B*C*a^11*b^5 - 16*B*C*a^13*b^3))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 -
a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a
^17*b^2)))/a^5 - (16*(256*A^3*b^16 - 4*B*C^2*a^16 + 4*B^2*C*a^16 - 128*A^3*a*b^15 - 16*B^3*a^15*b - 1664*A^3*a
^2*b^14 + 800*A^3*a^3*b^13 + 4576*A^3*a^4*b^12 - 2176*A^3*a^5*b^11 - 6944*A^3*a^6*b^10 + 3204*A^3*a^7*b^9 + 61
76*A^3*a^8*b^8 - 2560*A^3*a^9*b^7 - 3040*A^3*a^10*b^6 + 960*A^3*a^11*b^5 + 640*A^3*a^12*b^4 - 4*B^3*a^3*b^13 +
2*B^3*a^4*b^12 + 26*B^3*a^5*b^11 - 11*B^3*a^6*b^10 - 70*B^3*a^7*b^9 + 34*B^3*a^8*b^8 + 110*B^3*a^9*b^7 - 66*B
^3*a^10*b^6 - 110*B^3*a^11*b^5 + 64*B^3*a^12*b^4 + 64*B^3*a^13*b^3 - 48*B^3*a^14*b^2 - 192*A^2*B*a*b^15 + 16*A
*C^2*a^15*b + 28*B^2*C*a^15*b + 48*A*B^2*a^2*b^14 - 24*A*B^2*a^3*b^13 - 312*A*B^2*a^4*b^12 + 138*A*B^2*a^5*b^1
1 + 846*A*B^2*a^6*b^10 - 408*A*B^2*a^7*b^9 - 1314*A*B^2*a^8*b^8 + 726*A*B^2*a^9*b^7 + 1266*A*B^2*a^10*b^6 - 69
0*A*B^2*a^11*b^5 - 702*A*B^2*a^12*b^4 + 408*A*B^2*a^13*b^3 + 168*A*B^2*a^14*b^2 + 96*A^2*B*a^2*b^14 + 1248*A^2
*B*a^3*b^13 - 576*A^2*B*a^4*b^12 - 3408*A^2*B*a^5*b^11 + 1632*A^2*B*a^6*b^10 + 5232*A^2*B*a^7*b^9 - 2649*A^2*B
*a^8*b^8 - 4848*A^2*B*a^9*b^7 + 2376*A^2*B*a^10*b^6 + 2544*A^2*B*a^11*b^5 - 1104*A^2*B*a^12*b^4 - 576*A^2*B*a^
13*b^3 + 36*A*C^2*a^11*b^5 + 48*A*C^2*a^13*b^3 - 96*A^2*C*a^5*b^11 - 96*A^2*C*a^6*b^10 + 320*A^2*C*a^7*b^9 + 2
24*A^2*C*a^8*b^8 - 296*A^2*C*a^9*b^7 - 96*A^2*C*a^10*b^6 + 16*A^2*C*a^11*b^5 - 96*A^2*C*a^12*b^4 + 256*A^2*C*a
^13*b^3 + 64*A^2*C*a^14*b^2 - 9*B*C^2*a^12*b^4 - 12*B*C^2*a^14*b^2 - 6*B^2*C*a^7*b^9 - 6*B^2*C*a^8*b^8 + 20*B^
2*C*a^9*b^7 + 14*B^2*C*a^10*b^6 - 14*B^2*C*a^11*b^5 - 6*B^2*C*a^12*b^4 + 22*B^2*C*a^13*b^3 - 6*B^2*C*a^14*b^2
- 32*A*B*C*a^15*b + 48*A*B*C*a^6*b^10 + 48*A*B*C*a^7*b^9 - 160*A*B*C*a^8*b^8 - 112*A*B*C*a^9*b^7 + 130*A*B*C*a
^10*b^6 + 48*A*B*C*a^11*b^5 - 92*A*B*C*a^12*b^4 + 48*A*B*C*a^13*b^3 - 176*A*B*C*a^14*b^2))/(a^22*b + a^23 - a^
12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20
*b^3 - 5*a^21*b^2) + ((4*A*b - B*a)*(((4*A*b - B*a)*((8*(4*B*a^24 + 4*C*a^24 + 16*A*a^10*b^14 - 8*A*a^11*b^13
- 104*A*a^12*b^12 + 50*A*a^13*b^11 + 286*A*a^14*b^10 - 126*A*a^15*b^9 - 434*A*a^16*b^8 + 174*A*a^17*b^7 + 386*
A*a^18*b^6 - 146*A*a^19*b^5 - 190*A*a^20*b^4 + 72*A*a^21*b^3 + 40*A*a^22*b^2 - 4*B*a^11*b^13 + 2*B*a^12*b^12 +
26*B*a^13*b^11 - 14*B*a^14*b^10 - 70*B*a^15*b^9 + 30*B*a^16*b^8 + 110*B*a^17*b^7 - 30*B*a^18*b^6 - 110*B*a^19
*b^5 + 20*B*a^20*b^4 + 64*B*a^21*b^3 - 12*B*a^22*b^2 + 6*C*a^15*b^9 - 6*C*a^16*b^8 - 14*C*a^17*b^7 + 14*C*a^18
*b^6 + 6*C*a^19*b^5 - 6*C*a^20*b^4 + 6*C*a^21*b^3 - 6*C*a^22*b^2 - 16*A*a^23*b - 16*B*a^23*b - 4*C*a^23*b))/(a
^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*
a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A*b - B*a)*(8*a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a^11*b^1
3 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 - 120*a^18*b^6 +
120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/(a^5*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9
+ 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2))))/a^5 + (8*t
an(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*B^2*a^16 + 4*C^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 8*B^2*a^15*b - 768*A^2*a^2*b^14 +
768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^
8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a
^14*b^2 + 8*B^2*a^2*b^14 - 8*B^2*a^3*b^13 - 48*B^2*a^4*b^12 + 48*B^2*a^5*b^11 + 117*B^2*a^6*b^10 - 120*B^2*a^7
*b^9 - 164*B^2*a^8*b^8 + 160*B^2*a^9*b^7 + 156*B^2*a^10*b^6 - 120*B^2*a^11*b^5 - 92*B^2*a^12*b^4 + 48*B^2*a^13
*b^3 + 44*B^2*a^14*b^2 + 9*C^2*a^12*b^4 + 12*C^2*a^14*b^2 - 64*A*B*a*b^15 - 32*A*B*a^15*b - 32*B*C*a^15*b + 64
*A*B*a^2*b^14 + 384*A*B*a^3*b^13 - 384*A*B*a^4*b^12 - 948*A*B*a^5*b^11 + 960*A*B*a^6*b^10 + 1306*A*B*a^7*b^9 -
1280*A*B*a^8*b^8 - 1128*A*B*a^9*b^7 + 960*A*B*a^10*b^6 + 592*A*B*a^11*b^5 - 384*A*B*a^12*b^4 - 160*A*B*a^13*b
^3 + 64*A*B*a^14*b^2 - 48*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 98*A*C*a^10*b^6 - 20*A*C*a^12*b^4 + 80*A*C*a^14*b^2
+ 12*B*C*a^7*b^9 - 34*B*C*a^9*b^7 + 20*B*C*a^11*b^5 - 16*B*C*a^13*b^3))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10
+ 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2)))
/a^5))*(4*A*b - B*a)*2i)/(a^5*d) + (atan(((((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*B^2*a^16 + 4*C^2*a^16 - 12
8*A^2*a*b^15 - 8*B^2*a^15*b - 768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 26
00*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5
+ 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 8*B^2*a^2*b^14 - 8*B^2*a^3*b^13 - 48*B^2*a^4*b^12 +
48*B^2*a^5*b^11 + 117*B^2*a^6*b^10 - 120*B^2*a^7*b^9 - 164*B^2*a^8*b^8 + 160*B^2*a^9*b^7 + 156*B^2*a^10*b^6 -
120*B^2*a^11*b^5 - 92*B^2*a^12*b^4 + 48*B^2*a^13*b^3 + 44*B^2*a^14*b^2 + 9*C^2*a^12*b^4 + 12*C^2*a^14*b^2 - 64
*A*B*a*b^15 - 32*A*B*a^15*b - 32*B*C*a^15*b + 64*A*B*a^2*b^14 + 384*A*B*a^3*b^13 - 384*A*B*a^4*b^12 - 948*A*B*
a^5*b^11 + 960*A*B*a^6*b^10 + 1306*A*B*a^7*b^9 - 1280*A*B*a^8*b^8 - 1128*A*B*a^9*b^7 + 960*A*B*a^10*b^6 + 592*
A*B*a^11*b^5 - 384*A*B*a^12*b^4 - 160*A*B*a^13*b^3 + 64*A*B*a^14*b^2 - 48*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 98*
A*C*a^10*b^6 - 20*A*C*a^12*b^4 + 80*A*C*a^14*b^2 + 12*B*C*a^7*b^9 - 34*B*C*a^9*b^7 + 20*B*C*a^11*b^5 - 16*B*C*
a^13*b^3))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^1
4*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2) - (((8*(4*B*a^24 + 4*C*a^24 + 16*A*a^10*b^14 - 8*A*a^11*b^13 -
104*A*a^12*b^12 + 50*A*a^13*b^11 + 286*A*a^14*b^10 - 126*A*a^15*b^9 - 434*A*a^16*b^8 + 174*A*a^17*b^7 + 386*A*
a^18*b^6 - 146*A*a^19*b^5 - 190*A*a^20*b^4 + 72*A*a^21*b^3 + 40*A*a^22*b^2 - 4*B*a^11*b^13 + 2*B*a^12*b^12 + 2
6*B*a^13*b^11 - 14*B*a^14*b^10 - 70*B*a^15*b^9 + 30*B*a^16*b^8 + 110*B*a^17*b^7 - 30*B*a^18*b^6 - 110*B*a^19*b
^5 + 20*B*a^20*b^4 + 64*B*a^21*b^3 - 12*B*a^22*b^2 + 6*C*a^15*b^9 - 6*C*a^16*b^8 - 14*C*a^17*b^7 + 14*C*a^18*b
^6 + 6*C*a^19*b^5 - 6*C*a^20*b^4 + 6*C*a^21*b^3 - 6*C*a^22*b^2 - 16*A*a^23*b - 16*B*a^23*b - 4*C*a^23*b))/(a^2
2*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^
19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) - (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28
*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 - 7*B*a^3*b^5 + 8*B*a^5*b^3 + 3*C*a^6*b^2 + 2*B*a*b^7 - 8*B*a^7*b)*(8
*a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^
8 - 160*a^17*b^7 - 120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/((a^19 - a^5*b^14 +
7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a
^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^1
7*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 - 7*B*a^
3*b^5 + 8*B*a^5*b^3 + 3*C*a^6*b^2 + 2*B*a*b^7 - 8*B*a^7*b))/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 3
5*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*
a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 - 7*B*a^3*b^5 + 8*B*a^5*b^3 + 3*C*a^6*b^2 + 2*B*a*b^7 - 8*B*a^7*b)*1i)/(
2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)) + (((8*
tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*B^2*a^16 + 4*C^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 8*B^2*a^15*b - 768*A^2*a^2*b^14
+ 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a
^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*
a^14*b^2 + 8*B^2*a^2*b^14 - 8*B^2*a^3*b^13 - 48*B^2*a^4*b^12 + 48*B^2*a^5*b^11 + 117*B^2*a^6*b^10 - 120*B^2*a^
7*b^9 - 164*B^2*a^8*b^8 + 160*B^2*a^9*b^7 + 156*B^2*a^10*b^6 - 120*B^2*a^11*b^5 - 92*B^2*a^12*b^4 + 48*B^2*a^1
3*b^3 + 44*B^2*a^14*b^2 + 9*C^2*a^12*b^4 + 12*C^2*a^14*b^2 - 64*A*B*a*b^15 - 32*A*B*a^15*b - 32*B*C*a^15*b + 6
4*A*B*a^2*b^14 + 384*A*B*a^3*b^13 - 384*A*B*a^4*b^12 - 948*A*B*a^5*b^11 + 960*A*B*a^6*b^10 + 1306*A*B*a^7*b^9
- 1280*A*B*a^8*b^8 - 1128*A*B*a^9*b^7 + 960*A*B*a^10*b^6 + 592*A*B*a^11*b^5 - 384*A*B*a^12*b^4 - 160*A*B*a^13*
b^3 + 64*A*B*a^14*b^2 - 48*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 98*A*C*a^10*b^6 - 20*A*C*a^12*b^4 + 80*A*C*a^14*b^
2 + 12*B*C*a^7*b^9 - 34*B*C*a^9*b^7 + 20*B*C*a^11*b^5 - 16*B*C*a^13*b^3))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10
+ 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2)
+ (((8*(4*B*a^24 + 4*C*a^24 + 16*A*a^10*b^14 - 8*A*a^11*b^13 - 104*A*a^12*b^12 + 50*A*a^13*b^11 + 286*A*a^14*b
^10 - 126*A*a^15*b^9 - 434*A*a^16*b^8 + 174*A*a^17*b^7 + 386*A*a^18*b^6 - 146*A*a^19*b^5 - 190*A*a^20*b^4 + 72
*A*a^21*b^3 + 40*A*a^22*b^2 - 4*B*a^11*b^13 + 2*B*a^12*b^12 + 26*B*a^13*b^11 - 14*B*a^14*b^10 - 70*B*a^15*b^9
+ 30*B*a^16*b^8 + 110*B*a^17*b^7 - 30*B*a^18*b^6 - 110*B*a^19*b^5 + 20*B*a^20*b^4 + 64*B*a^21*b^3 - 12*B*a^22*
b^2 + 6*C*a^15*b^9 - 6*C*a^16*b^8 - 14*C*a^17*b^7 + 14*C*a^18*b^6 + 6*C*a^19*b^5 - 6*C*a^20*b^4 + 6*C*a^21*b^3
- 6*C*a^22*b^2 - 16*A*a^23*b - 16*B*a^23*b - 4*C*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9
+ 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) + (4*tan(c/2
+ (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 - 7*B*
a^3*b^5 + 8*B*a^5*b^3 + 3*C*a^6*b^2 + 2*B*a*b^7 - 8*B*a^7*b)*(8*a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b
^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 - 120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5
+ 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/((a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^1
3*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7
- 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8
- 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 - 7*B*a^3*b^5 + 8*B*a^5*b^3 + 3*C*a^6*b^2 + 2*B*a*b^7 -
8*B*a^7*b))/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17
*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 - 7*B*a^3
*b^5 + 8*B*a^5*b^3 + 3*C*a^6*b^2 + 2*B*a*b^7 - 8*B*a^7*b)*1i)/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 +
35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)))/((16*(256*A^3*b^16 - 4*B*C^2*a^16 + 4*B^2*C*a^16 - 12
8*A^3*a*b^15 - 16*B^3*a^15*b - 1664*A^3*a^2*b^14 + 800*A^3*a^3*b^13 + 4576*A^3*a^4*b^12 - 2176*A^3*a^5*b^11 -
6944*A^3*a^6*b^10 + 3204*A^3*a^7*b^9 + 6176*A^3*a^8*b^8 - 2560*A^3*a^9*b^7 - 3040*A^3*a^10*b^6 + 960*A^3*a^11*
b^5 + 640*A^3*a^12*b^4 - 4*B^3*a^3*b^13 + 2*B^3*a^4*b^12 + 26*B^3*a^5*b^11 - 11*B^3*a^6*b^10 - 70*B^3*a^7*b^9
+ 34*B^3*a^8*b^8 + 110*B^3*a^9*b^7 - 66*B^3*a^10*b^6 - 110*B^3*a^11*b^5 + 64*B^3*a^12*b^4 + 64*B^3*a^13*b^3 -
48*B^3*a^14*b^2 - 192*A^2*B*a*b^15 + 16*A*C^2*a^15*b + 28*B^2*C*a^15*b + 48*A*B^2*a^2*b^14 - 24*A*B^2*a^3*b^13
- 312*A*B^2*a^4*b^12 + 138*A*B^2*a^5*b^11 + 846*A*B^2*a^6*b^10 - 408*A*B^2*a^7*b^9 - 1314*A*B^2*a^8*b^8 + 726
*A*B^2*a^9*b^7 + 1266*A*B^2*a^10*b^6 - 690*A*B^2*a^11*b^5 - 702*A*B^2*a^12*b^4 + 408*A*B^2*a^13*b^3 + 168*A*B^
2*a^14*b^2 + 96*A^2*B*a^2*b^14 + 1248*A^2*B*a^3*b^13 - 576*A^2*B*a^4*b^12 - 3408*A^2*B*a^5*b^11 + 1632*A^2*B*a
^6*b^10 + 5232*A^2*B*a^7*b^9 - 2649*A^2*B*a^8*b^8 - 4848*A^2*B*a^9*b^7 + 2376*A^2*B*a^10*b^6 + 2544*A^2*B*a^11
*b^5 - 1104*A^2*B*a^12*b^4 - 576*A^2*B*a^13*b^3 + 36*A*C^2*a^11*b^5 + 48*A*C^2*a^13*b^3 - 96*A^2*C*a^5*b^11 -
96*A^2*C*a^6*b^10 + 320*A^2*C*a^7*b^9 + 224*A^2*C*a^8*b^8 - 296*A^2*C*a^9*b^7 - 96*A^2*C*a^10*b^6 + 16*A^2*C*a
^11*b^5 - 96*A^2*C*a^12*b^4 + 256*A^2*C*a^13*b^3 + 64*A^2*C*a^14*b^2 - 9*B*C^2*a^12*b^4 - 12*B*C^2*a^14*b^2 -
6*B^2*C*a^7*b^9 - 6*B^2*C*a^8*b^8 + 20*B^2*C*a^9*b^7 + 14*B^2*C*a^10*b^6 - 14*B^2*C*a^11*b^5 - 6*B^2*C*a^12*b^
4 + 22*B^2*C*a^13*b^3 - 6*B^2*C*a^14*b^2 - 32*A*B*C*a^15*b + 48*A*B*C*a^6*b^10 + 48*A*B*C*a^7*b^9 - 160*A*B*C*
a^8*b^8 - 112*A*B*C*a^9*b^7 + 130*A*B*C*a^10*b^6 + 48*A*B*C*a^11*b^5 - 92*A*B*C*a^12*b^4 + 48*A*B*C*a^13*b^3 -
176*A*B*C*a^14*b^2))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17
*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) + (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*B^2*a^
16 + 4*C^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 8*B^2*a^15*b - 768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 19
20*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^7*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^
6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*a^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 8*B^2*a^2*b^14 - 8*B^2*a^3*b^13
- 48*B^2*a^4*b^12 + 48*B^2*a^5*b^11 + 117*B^2*a^6*b^10 - 120*B^2*a^7*b^9 - 164*B^2*a^8*b^8 + 160*B^2*a^9*b^7 +
156*B^2*a^10*b^6 - 120*B^2*a^11*b^5 - 92*B^2*a^12*b^4 + 48*B^2*a^13*b^3 + 44*B^2*a^14*b^2 + 9*C^2*a^12*b^4 +
12*C^2*a^14*b^2 - 64*A*B*a*b^15 - 32*A*B*a^15*b - 32*B*C*a^15*b + 64*A*B*a^2*b^14 + 384*A*B*a^3*b^13 - 384*A*B
*a^4*b^12 - 948*A*B*a^5*b^11 + 960*A*B*a^6*b^10 + 1306*A*B*a^7*b^9 - 1280*A*B*a^8*b^8 - 1128*A*B*a^9*b^7 + 960
*A*B*a^10*b^6 + 592*A*B*a^11*b^5 - 384*A*B*a^12*b^4 - 160*A*B*a^13*b^3 + 64*A*B*a^14*b^2 - 48*A*C*a^6*b^10 + 1
36*A*C*a^8*b^8 - 98*A*C*a^10*b^6 - 20*A*C*a^12*b^4 + 80*A*C*a^14*b^2 + 12*B*C*a^7*b^9 - 34*B*C*a^9*b^7 + 20*B*
C*a^11*b^5 - 16*B*C*a^13*b^3))/(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 -
10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2) - (((8*(4*B*a^24 + 4*C*a^24 + 16*A*a^10*b^1
4 - 8*A*a^11*b^13 - 104*A*a^12*b^12 + 50*A*a^13*b^11 + 286*A*a^14*b^10 - 126*A*a^15*b^9 - 434*A*a^16*b^8 + 174
*A*a^17*b^7 + 386*A*a^18*b^6 - 146*A*a^19*b^5 - 190*A*a^20*b^4 + 72*A*a^21*b^3 + 40*A*a^22*b^2 - 4*B*a^11*b^13
+ 2*B*a^12*b^12 + 26*B*a^13*b^11 - 14*B*a^14*b^10 - 70*B*a^15*b^9 + 30*B*a^16*b^8 + 110*B*a^17*b^7 - 30*B*a^1
8*b^6 - 110*B*a^19*b^5 + 20*B*a^20*b^4 + 64*B*a^21*b^3 - 12*B*a^22*b^2 + 6*C*a^15*b^9 - 6*C*a^16*b^8 - 14*C*a^
17*b^7 + 14*C*a^18*b^6 + 6*C*a^19*b^5 - 6*C*a^20*b^4 + 6*C*a^21*b^3 - 6*C*a^22*b^2 - 16*A*a^23*b - 16*B*a^23*b
- 4*C*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 +
10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b^2) - (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*
C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 - 7*B*a^3*b^5 + 8*B*a^5*b^3 + 3*C*a^6*b^2 + 2*B*a
*b^7 - 8*B*a^7*b)*(8*a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a^11*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^
15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 - 120*a^18*b^6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/
((a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)*(a^18*b +
a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4
- 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 2
0*A*a^6*b^2 - 7*B*a^3*b^5 + 8*B*a^5*b^3 + 3*C*a^6*b^2 + 2*B*a*b^7 - 8*B*a^7*b))/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^
12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a
^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 - 7*B*a^3*b^5 + 8*B*a^5*b^3 + 3*C*a^6*b^2 + 2*B*a*b^
7 - 8*B*a^7*b))/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a
^17*b^2)) - (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(128*A^2*b^16 + 4*B^2*a^16 + 4*C^2*a^16 - 128*A^2*a*b^15 - 8*B^2*a^15*b -
768*A^2*a^2*b^14 + 768*A^2*a^3*b^13 + 1920*A^2*a^4*b^12 - 1920*A^2*a^5*b^11 - 2600*A^2*a^6*b^10 + 2560*A^2*a^7
*b^9 + 2025*A^2*a^8*b^8 - 1920*A^2*a^9*b^7 - 824*A^2*a^10*b^6 + 768*A^2*a^11*b^5 + 80*A^2*a^12*b^4 - 128*A^2*a
^13*b^3 + 64*A^2*a^14*b^2 + 8*B^2*a^2*b^14 - 8*B^2*a^3*b^13 - 48*B^2*a^4*b^12 + 48*B^2*a^5*b^11 + 117*B^2*a^6*
b^10 - 120*B^2*a^7*b^9 - 164*B^2*a^8*b^8 + 160*B^2*a^9*b^7 + 156*B^2*a^10*b^6 - 120*B^2*a^11*b^5 - 92*B^2*a^12
*b^4 + 48*B^2*a^13*b^3 + 44*B^2*a^14*b^2 + 9*C^2*a^12*b^4 + 12*C^2*a^14*b^2 - 64*A*B*a*b^15 - 32*A*B*a^15*b -
32*B*C*a^15*b + 64*A*B*a^2*b^14 + 384*A*B*a^3*b^13 - 384*A*B*a^4*b^12 - 948*A*B*a^5*b^11 + 960*A*B*a^6*b^10 +
1306*A*B*a^7*b^9 - 1280*A*B*a^8*b^8 - 1128*A*B*a^9*b^7 + 960*A*B*a^10*b^6 + 592*A*B*a^11*b^5 - 384*A*B*a^12*b^
4 - 160*A*B*a^13*b^3 + 64*A*B*a^14*b^2 - 48*A*C*a^6*b^10 + 136*A*C*a^8*b^8 - 98*A*C*a^10*b^6 - 20*A*C*a^12*b^4
+ 80*A*C*a^14*b^2 + 12*B*C*a^7*b^9 - 34*B*C*a^9*b^7 + 20*B*C*a^11*b^5 - 16*B*C*a^13*b^3))/(a^18*b + a^19 - a^
8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b
^3 - 5*a^17*b^2) + (((8*(4*B*a^24 + 4*C*a^24 + 16*A*a^10*b^14 - 8*A*a^11*b^13 - 104*A*a^12*b^12 + 50*A*a^13*b^
11 + 286*A*a^14*b^10 - 126*A*a^15*b^9 - 434*A*a^16*b^8 + 174*A*a^17*b^7 + 386*A*a^18*b^6 - 146*A*a^19*b^5 - 19
0*A*a^20*b^4 + 72*A*a^21*b^3 + 40*A*a^22*b^2 - 4*B*a^11*b^13 + 2*B*a^12*b^12 + 26*B*a^13*b^11 - 14*B*a^14*b^10
- 70*B*a^15*b^9 + 30*B*a^16*b^8 + 110*B*a^17*b^7 - 30*B*a^18*b^6 - 110*B*a^19*b^5 + 20*B*a^20*b^4 + 64*B*a^21
*b^3 - 12*B*a^22*b^2 + 6*C*a^15*b^9 - 6*C*a^16*b^8 - 14*C*a^17*b^7 + 14*C*a^18*b^6 + 6*C*a^19*b^5 - 6*C*a^20*b
^4 + 6*C*a^21*b^3 - 6*C*a^22*b^2 - 16*A*a^23*b - 16*B*a^23*b - 4*C*a^23*b))/(a^22*b + a^23 - a^12*b^11 - a^13*
b^10 + 5*a^14*b^9 + 5*a^15*b^8 - 10*a^16*b^7 - 10*a^17*b^6 + 10*a^18*b^5 + 10*a^19*b^4 - 5*a^20*b^3 - 5*a^21*b
^2) + (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20
*A*a^6*b^2 - 7*B*a^3*b^5 + 8*B*a^5*b^3 + 3*C*a^6*b^2 + 2*B*a*b^7 - 8*B*a^7*b)*(8*a^23*b - 8*a^10*b^14 + 8*a^11
*b^13 + 48*a^12*b^12 - 48*a^13*b^11 - 120*a^14*b^10 + 120*a^15*b^9 + 160*a^16*b^8 - 160*a^17*b^7 - 120*a^18*b^
6 + 120*a^19*b^5 + 48*a^20*b^4 - 48*a^21*b^3 - 8*a^22*b^2))/((a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*
a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)*(a^18*b + a^19 - a^8*b^11 - a^9*b^10 + 5*a^10*b^9 + 5*a^11*
b^8 - 10*a^12*b^7 - 10*a^13*b^6 + 10*a^14*b^5 + 10*a^15*b^4 - 5*a^16*b^3 - 5*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7
)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 - 7*B*a^3*b^5 + 8*B*a^5*b^3 + 3*C*a^6*
b^2 + 2*B*a*b^7 - 8*B*a^7*b))/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*
a^15*b^4 - 7*a^17*b^2)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8 - 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*
a^6*b^2 - 7*B*a^3*b^5 + 8*B*a^5*b^3 + 3*C*a^6*b^2 + 2*B*a*b^7 - 8*B*a^7*b))/(2*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 -
21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a^17*b^2))))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(2*C*a^8
- 8*A*b^8 + 28*A*a^2*b^6 - 35*A*a^4*b^4 + 20*A*a^6*b^2 - 7*B*a^3*b^5 + 8*B*a^5*b^3 + 3*C*a^6*b^2 + 2*B*a*b^7 -
8*B*a^7*b)*1i)/(d*(a^19 - a^5*b^14 + 7*a^7*b^12 - 21*a^9*b^10 + 35*a^11*b^8 - 35*a^13*b^6 + 21*a^15*b^4 - 7*a
^17*b^2))